pondelok 3. decembra 2012

Čo je to večnosť a kde je nekonečno?

Prednedávnom som uverejnila anketu. Mala som vtedy chuť podeliť sa o zaujímavosti z matematiky a chcela som proste vedieť, či to bude niekto aj čítať. Veľa som sa však nedozvedela, lebo odpovedali len traja, medzi ktorými som bola aj ja. Jedna odpoveď bola dokonca záporná! Aj tak som sa rozhodla, že sa sem-tam (nebojte sa, nebude to veľmi často) pokúsim ukázať vám niečo z tajomstiev matematiky. Pre mnohých z vás to určite ani žiadne novinky nebudú.
Čo je to večnosť a kde je nekonečno? Takto sa začína jedna moja báseň. Aj môj prvý príspevok sa týka nekonečna. Ako inak? Nič v tomto svete nefascinuje viac ako nekonečno.
Týmto nesmierne zaujímavým a bohatým svetom sa zoaberal nemecký matematik Georg Cantor (1845-1918), ktorý navrhol úplne nový koncept nekonečna. Jeho základným nástrojom bol pojem množiny.
Dovtedy uvažovali matematici o nekonečne len ako o neexistencii konca. Cantor sa však nepotreboval dostávať až na koniec. S číslami pracoval ako s vecami a aritmetické operácie nepoužíval. Toto mi je sympatické, pretože, ako som už spomínala, s počítaním mám problém. Cantor sa zaoberal tým, či je možné spočítať prvky tej-ktorej množiny. Či je to vôbec možné, nie koľko ich má naozaj. Takéto spočítateľné množiny nazval kardinálne. Potom ich porovnával. Niečo v zmysle nejde o to, akí sme bohatí, ale kto má viac. Aby mohol narábať aj s nekonečnými množinami, musel však uvažovať jednoducho - ako ten, kto nevie počítať.

Napríklad taká Snehulienka bola síce veľmi múdra, ale predpokladajme, že predsa len voľnom čase sa matematike nevenovala. Ako mohla skontrolovať, či sa všetci trpaslíci vrátili z pochôdzky? Každý mal svoj hrnček, a tak stačilo navariť čaj, pri príchode im pohár vložiť do rúk a keď žiaden nezostal, všetci boli spokojní. Množina trpaslíkov a množina hrnčekov mala rovnaký počet prvkov. Bez použitia čísel a znalosti matematiky Snehulienka využila tzv. jedno-jednoznačný vzťah.

Rovnaká metóda sa dá uplatniť aj pri úvahách o nekonečných množinách. Skúsme.
Nikto nepochybuje, že nepárnych čísiel je rovnako veľa ako párnych. Vieme aj to, že celok je väčší ako jeho časti. A teraz pozor! Podľa všetkého by sme mohli tvrdiť, že všetkých celých čísel je viac ako párnych (dokonca dvakrát toľko). Prišiel však Cantor, aby nás spochybnil a túto doteraz samozrejmú vec nám vyvrátil. Každému celému číslu priradil jeho dvojnásobok, našiel teda jedno-jednoznačný vzťah medzi množinou celých a množinou párnych čísel. Dospel tým k prekvapujúcemu uzáveru, že celých čísel je rovnaký počet ako párnych. Ani sám Cantor svojim výsledkom nejaký čas nemohol uveriť. Najmä keď dokázal ešte čudnejšie veci. Napríklad, že úsečka má toľko isto bodov ako celá priamka. Dokonca je to tak, že úsečka má toľko isto bodov ako celá rovina alebo celý trojrozmerný priestor. Napísal : „Vidím to, ale neverím tomu.“

Tieto zaujímavé skutočnosti sa nám zídu pri úvahách a riešení nasledujúcej úlohy s názvom Hotel nekonečno, ktorú prvýkrát sformuloval matematik David Hilbert (1862-1943): 

Hotel Nekonečno nie je veru obyčajný hotel. Jedného dňa nastúpil do služby Pavol, ktorému stále vŕtalo v hlave, prečo majiteľ vyžaduje od svojich zamestnancov znalosti o nekonečne, nekonečných a kardinálnych množinách.
Hotel mal nekonečne veľa izieb, a tak si myslel, že ubytovať nových hostí nebude nijaký problém. Po prvej službe bol však veľmi rád, že o nekonečne toľko vedel.
Kolegyňa, ktorú Pavol striedal, mu povedala, že je obsadených nekonečne veľa izieb. Hneď po jej odchode prišiel do hotela nový hosť s rezerváciou. Pavol sa mal rozhodnúť, ktorú izbu mu dá. Chvíľu premýšľal a potom presťahoval každého ubytovaného do izby s číslom o jednotku vyšším, ako mal pôvodne, a tak mohol nového hosťa ubytovať v izbe číslo 1.
Pavol si vydýchol, že problém zvládol. Práve vtedy však prišiel autobus s nekonečným počtom hostí. Akým spôsobom ich ubytoval?

Ak ste vydržali čítať až potiaľto, odpoveď už iste poznáte. Ak nie, pomôže vám obrázok. Päť hostí súhlasilo s odhalením totožnosti, ostatní sú utajení:


8 komentárov:

  1. pěkná logická hrátka. z nápovědy jsem odhadla, že každého ubytovaného hosta přesunuli na lichý pokoja a zbytek autobusu ubytovali na sudá čísla, mezi nimi i pět odhalených hostí. je to raz dva :o)) hrátky s nekonečnem jsou hezké, nekonečno si vyrábíme sami v naší mysli. proto je nekonečné. je tak veliké kam až naše mysl dosáhne.

    OdpovedaťOdstrániť
    Odpovede
    1. "Lichý - sudý" - to sa nikdy nenaučím. Prečo je potom lichobežník?

      Odstrániť
    2. Protože sudoběžníky jsou všechny ostatní :-)

      Odstrániť
    3. Aha, tak konečne som to pochopila :-D

      Odstrániť
  2. co se týče tvé zajímavé úlohy s čtverečky. nasadila jsi mi brouka do hlavy a já začala na ten trojuhelník koukat trochu víc přesně. Kudy prochází přepona a jak dělíty čtverečky. no a pak jsem si všimla zajívosti, dokonce jsem přikládála pravítko na obrazovku. a bylo to tam :o))) téměř neznatelné ale i málo stačí

    OdpovedaťOdstrániť
    Odpovede
    1. Presne tak. Druhý útvar vôbec nie je totožný s prvým, nie je to vlstne ani trojuholník. (Dá sa to dokázať cez podobnosť, keby to niekoho zaujímalo.)

      Odstrániť
  3. Docitam nabuduce. Je pol 11 vecer a ja musim dorobit do prace nieco, do coho sa mi strasne nechce a tak hladam uniky na nete:)
    panda

    OdpovedaťOdstrániť
    Odpovede
    1. Dokonca aj taká matematika je zrazu dobrá, čo? ;-)

      Odstrániť